ドロースペルによるドロー枚数の期待値　その1

ドロースペルがデッキに入っている場合のドロー枚数の期待値を考えてみます。
ドロースペルを使用するのにマナなどのコストが必要ない場合、どれだけデッキを掘れるのでしょうか。

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ドロー可能枚数の期待値をd、デッキ総枚数をD、現在の手札の枚数をa1,ドロースペルの枚数をm、ドロースペルのドロー枚数をnとする。

ドロー可能枚数の期待値dは

（手札にあるドロースペルの期待値×ドロースペルのドロー枚数）

と考えられる。

これを数式化すると、
d = a1 * (mn/D)

である。

しかし実はこれでは不十分で、これだけだとドロースペルを使用して引いてきた中の
ドロースペルが考慮されていない。

そこでa2 = a1 * (mn/D)
と置いて

d = a1 * (mn/D) + a2 * (mn/D)
　 = a2 + a2 * (mn/D)
とする。

しかしこれでも2度目のドロースペルので引いてきたドロースペルが考慮できない。

なので、a3,a4…をa2と同様に考える。

一般化すると、
ak = ak-1 * （mn/D） = a1 * (mn/D)^(k-1) (k≧2)
となり、

d = a1 + a2 +a 3 + … + … ak + …という無限等比級数となる。

ここから無限等比級数の和の公式より
d = a1 / (1-mn/D) = D * a1 / (D-mn)

となる。
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以上です。

次回、補足を書きます。